現在のページをスマホ対応にカスタマイズすることもできますが、おそらくデザインも時代に合っていないことが多いものです。デザインが有っていないというのは、ホームページの内容も現在のサービス内容に合っていないというケースがほとんどです。
2020年以降は世の中も大きく変化しました。求められている情報を発信するためにも完全リニューアルをお勧めします。

「ホームページ制作会社にすべて任せたから何もわからない。」意外によく聞く話です。制作会社も、年間の保守管理などの契約があるところは、お客様のサーバー情報を管理できるのですが、機密情報となるサーバー情報などは、勝手に保管するわけにはいきません。制作時に何らかの形で情報は渡されているはずなのですが、お客様は何のことを言っているのかわからないというケースが多いのも現実です。

製作会社から渡されたログイン情報が解らなくなった、IDとPWを入れてもログインできない。こんなお悩みも意外に多いのですが、そのまま放置していくわけにはいきません。管理されていないワードプレスは、ハッキングや改ざんされたりと、大きな損害を生じることがあります。また、既にハッキングされて、パスワードを改ざんされた恐れもありますので、早めにご相談ください。

2017年からGoogleは、暗号化（SSL化）されていない、入力フォームのあるサイトに対して「このサイトは保護されていません。機密情報を入力しないで下さい」という警告を出すようにしています。
企業のサイトとして、このような表示がでるというのは、危機管理にうとい企業と評価されてしまいます。即急に対処しましょう。